Question

1．如图所示，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，∠ADC=$\frac{2π}{3}$，E为AD边上一点，CE=$\sqrt{7}$，DE=1，AE=2，∠BEC=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的长．

Answer 1

分析 （1）在△CDE中，使用余弦定理解出CD，再利用正弦定理求出sin∠CED；
（2）利用诱导公式与和角公式求出sin∠AEB，再在Rt△ABE中解出BE．

解答 解：（1）在△CDE中，由余弦定理得CE²=DE²+CD²-2DE•CDcos$\frac{2π}{3}$，即7=1+CD²+CD，解得CD=2．
由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠CED}=\frac{CE}{sin∠CDE}$，即$\frac{2}{sin∠CED}=\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，解得sin∠CED=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（2）∵sin∠CED=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，∴cos∠CED=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴sin∠AEB=sin（∠CED+60°）=$\frac{\sqrt{21}}{7}×\frac{1}{2}$+$\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．∴cos∠AEB=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
∵cos∠AEB=$\frac{AE}{BE}$，∴BE=$\frac{AE}{sin∠AEB}$=4$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．