Question

18．x+y+z+w=100，求这个方程组的自然数解的组数．

Answer 1

分析 先假设把104个火柴杆排成一排（可以凭想象）那么在104个火柴之间有103个空，在这103个空里面任意选3个空分别插入一个挡板，即可求出分组的种数，再令a-1=x，b-1=y，c-1=z，d-1=w则每一组abcd的值对应一组xyzw的值，问题得以解决．

解答 解：把104个火柴杆排成一排（可以凭想象）那么在104个火柴之间有103个空，在这103个空里面任意选3个空分别插入一个挡板，这样3个挡板就把104根火柴分成4堆，不妨把从左到右4堆火柴的个数分别记为a，b，c，d，那么每一种挡板的放置方法对应一组abcd的数值，且a+b+c+d=104，而挡板的放置方法有C₁₀₃³=176851 种．
所以方程a+b+c+d=104有176851组正整数解．而此题求的是自然数解，
若a+b+c+d=104则（a-1）+（b-1）+（c-1）+（d-1）=100，
令a-1=x，b-1=y，c-1=z，d-1=w则每一组abcd的值对应一组xyzw的值，
且x+y+z+w=100，
因此x+y+z+w=100这个方程组的自然数解的组数是176851．

点评 本题考查了利用隔板法求排列组合的问题，属于中档题．