Question

3．已知函数f（x）=|log₃（x-1）|-（$\frac{1}{3}$）^x有两个零点x₁，x₂，则（　　）

• A． x₁x₂＜1
• B． x₁x₂＞x₁+x₂
• C． x₁x₂＜x₁+x₂
• D． x₁x₂=x₁+x₂

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系由f（x）=0转化为两个函数的交点问题，利用数形结合以及对数和指数函数的运算法则和性质进行求解判断即可．

解答 解：∵f（x）=|log₃（x-1）|-（$\frac{1}{3}$）^x有两个零点x₁，x₂，
∴由f（x）=|log₃（x-1）|-（$\frac{1}{3}$）^x=0得|log₃（x-1）|=（$\frac{1}{3}$）^x，
设y=|log₃（x-1）|与y=（$\frac{1}{3}$）^x，
即y=|log₃（x-1）|与y=（$\frac{1}{3}$）^x有两个交点．
由题意x＞0，分别画y=（$\frac{1}{3}$）^x和y=|log₃（x-1）|的图象，
则在（1，2）和（2，+∞）有两个交点．
设 x₁∈（1，2），x₂∈（（2，+∞），
那么 在（1，2）上有 3^-x₁=-log₃（x₁-1），
即-3^-x₁=log₃（x₁-1）…①
在（2，+∞）上有3^-x₂=log₃（x₂-1）．…②
①②相加有 3^-x₂-3^-x₁=log₃（x₁-1）（x₂-1），
∵x₂＞x₁，∴3^-x₂＜3^-x₁，即 3^-x₂-3^-x₁＜0，
∴log₃（x₁-1）（x₂-1）＜0，
∴0＜（x₁-1）（x₂-1）＜1，
∴x₁x₂＜x₁+x₂，
故选：C

点评 本题主要考查确定函数零点所在区间的方法--转化为两个函数的交点问题．函数的零点等价于函数与x轴的交点的横坐标，等价于对应方程的根，属于中档题．