Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|=1，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值为5．

Answer 1

分析 由向量的共线的性质可得|$\overrightarrow{b}$|的最大值为2+1=3，由|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=t，两边平方可得8+2$\overrightarrow{b}$²=1+t²，可得最大值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|=1，
可得|$\overrightarrow{b}$|的最大值为2+1=3，
由|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=t，
平方可得，|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=t²+1，
即有2$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{b}$²=1+t²，
即8+2$\overrightarrow{b}$²=1+t²，
可得t²的最大值为8+2×9-1=25，
即有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值为5．
故答案为：5．

点评 本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量共线和三角形三边的关系，考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，属于中档题．