Question

3．如图，等边△ABC的边长为2，△ADE也是等边三角形且边长为1，M为DE的中心，在△ABC所在平面内，△ADE绕A逆时针旋转一周，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AM}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$+$\sqrt{3}$
• C． $\frac{3+\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设∠BAD=θ，（0≤θ≤2π），则∠CAE=θ，把$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AM}$转化为含有θ的三角函数，利用辅助角公式化积后得答案．

解答 解：设∠BAD=θ，（0≤θ≤2π），则∠CAE=θ，
则$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AM}$=（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$）=$\frac{1}{2}（{\overrightarrow{AD}}^{2}+\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AE}）$
=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}$$-\frac{1}{2}×2×1×cos（θ+\frac{π}{3}）$
=$\frac{3}{4}$-cosθ-cosθcos$\frac{π}{3}$+sinθsin$\frac{π}{3}$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ$
=$\sqrt{3}sin（θ-\frac{π}{6}）+\frac{3}{4}$．
∴当$θ=\frac{2π}{3}$时，$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{AM}$的最大值为$\sqrt{3}+\frac{3}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积的定义，考查三角函数的化简和求最值，考查运算能力，属于中档题．