Question

18．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润（万元）情况如下：

投入资金	甲产品利润	乙产品利润
4	1	2.5

该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润（万元）是（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． $\frac{65}{16}$
• C． $\frac{35}{8}$
• D． $\frac{17}{4}$

Answer 1

分析 根据条件求出甲乙产品的利用表达式，分别求出投入甲乙两种产品的销售获得利润，利用换导数法求出最大值．

解答 解：∵甲产品的利润与投入资金成正比，
∴设y=kx，当投入4万时，利润为1，即4k=1，得k=$\frac{1}{4}$，即y=$\frac{1}{4}$x，
∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，
∴设y=k$\sqrt{x}$，当投入4万时，利润为2.5=$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$，即$\sqrt{4}$k=$\frac{5}{2}$，得2k=$\frac{5}{2}$，
即k=$\frac{5}{4}$，即y=$\frac{5}{4}$$\sqrt{x}$，
设乙产品的投入资金x，则甲产品投入资金10-x，0≤x≤10，
则销售甲乙产品所得利润y=$\frac{1}{4}$（10-x）+$\frac{5}{4}$$\sqrt{x}$，
则函数的导数y′=-$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{8\sqrt{x}}$=$\frac{5-2\sqrt{x}}{8\sqrt{x}}$，
由f′（x）＞0得5-2$\sqrt{x}$＞0，即0＜x＜$\frac{25}{4}$，
由f′（x）＜0得5-2$\sqrt{x}$＜0，即x＞$\frac{25}{4}$，
即当x=$\frac{25}{4}$时，函数取得极大值同时也是最大值，此时f（$\frac{25}{4}$）=$\frac{1}{4}$（10-$\frac{25}{4}$）+$\frac{5}{4}$$•\sqrt{\frac{25}{4}}$=$\frac{15}{16}$+$\frac{50}{16}$=$\frac{65}{16}$，
故选：B

点评 本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及函数的最值的求解，利用导数法是解决本题的关键．，考查学生的运算能力．