Question

13．已知抛物线C：y²=8x，过点（0，-2）且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；
（Ⅱ）求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若线段AB中点的横坐标为2，求AB的长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线C的方程y²=8x，得p=4，即可求抛物线C的准线方程；
（Ⅱ）直线l方程与抛物线C的方程联立，分类讨论求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若线段AB中点的横坐标为2，求出k，利用弦长公式求AB的长度．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线C的方程y²=8x，得p=4，
所以抛物线C的准线方程为x=-2-------------------（3分）
（Ⅱ）直线l方程与抛物线C的方程联立，得方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx-2\\{y^2}=8x\end{array}\right.$-------------------（1分）
消y，整理得k²x²-（4k+8）x+4=0，①-------------------（2分）
由直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，则有△=（4k+8）²-16k²＞0-------------------（1分）
解得k＞-1
当k=0时，直线l与抛物线C只有一个交点，所以k的取值范围是k＞-1且k≠0------------------（1分）
（Ⅲ）若线段AB中点的横坐标为2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（Ⅱ）中的①式得${x_1}+{x_2}=\frac{4k+8}{k^2}=4$，-------------------（2分）
解得k=2或k=-1（舍）-------------------（1分）
$|AB|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=2\sqrt{15}$-------------------（2分）

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，属于中档题．