Question

1．设函数f（x）=cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+2cos²x．
（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取得最大值时x的集合；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=$\frac{3}{2}$，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由三角函数的最值可得；
（2）解2kπ+π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π可得单调递增区间；
（3）由（2）和f（B+C）=$\frac{3}{2}$可得角A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理和基本不等式可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得
f（x）=cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+2cos²x
=cos2xcos$\frac{4π}{3}$+sin2xsin$\frac{4π}{3}$+2cos²x
=-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1+cos2x
=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1
=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ即x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z）时，f（x）取得最大值2，
此时x的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
（2）由2kπ+π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+2π可解得kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，
∴f（x）的单调递增区间为[得kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z；
（3）由（2）可得f（B+C）=cos（2B+2C+$\frac{π}{3}$）+1=$\frac{3}{2}$，
∴cos（2B+2C+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，由角的范围可得2B+2C+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{3}$，
变形可得B+C=$\frac{2π}{3}$，A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc
=（b+c）²-3bc=4-3bc≥4-3（$\frac{b+c}{2}$）²=1
当且仅当b=c=1时取等号，故a的最小值为1

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及正余弦定理和基本不等式，属中档题．