Question

18．函数$f（x）=2{sin^2}ωx+\sqrt{3}sin2ωx$（ω＞0）的一条对称轴为直线$x=\frac{π}{8}$，则f（x）的最小正周期为$\frac{π}{4k+\frac{8}{3}}$，k∈Z，k≥0．

Answer 1

分析 利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+1，由2ωx-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数f（x）的对称轴方程为：x=$\frac{kπ+\frac{2π}{3}}{2ω}$，k∈Z，由题意可得$\frac{π}{8}$=$\frac{kπ+\frac{2π}{3}}{2ω}$，k∈Z，解得ω，利用三角函数周期公式即可得解．

解答 解：∵$f（x）=2{sin^2}ωx+\sqrt{3}sin2ωx$
=1-cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx
=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx）+1
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+1，
∴由2ωx-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数f（x）的对称轴方程为：x=$\frac{kπ+\frac{2π}{3}}{2ω}$，k∈Z，
∵函数f（x）的一条对称轴为直线$x=\frac{π}{8}$，
∴$\frac{π}{8}$=$\frac{kπ+\frac{2π}{3}}{2ω}$，k∈Z，解得：ω=4（k+$\frac{2}{3}$），k∈Z，k≥0，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{2π}{8（k+\frac{2}{3}）}$=$\frac{π}{4k+\frac{8}{3}}$，k∈Z，k≥0，
故答案为：$\frac{π}{4k+\frac{8}{3}}$，k∈Z，k≥0．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．