Question

3．已知函数f（x）的定义域为R，当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）写出一个具体函数，满足题目条件；
（Ⅲ）求证：f（x）是奇函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x=y=0，即可求出，
（Ⅱ）根据题意，写出函数即可，
（Ⅲ）根据函数的奇偶性的定义即可判断．

解答 解：（Ⅰ）令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
（Ⅱ）f（x）=0或f（x）=2x等均可． 
（Ⅲ）证明：令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
所以f（0）=f（x）+f（-x），
因为f（0）=0，
所以f（x）+f（-x）=0，
所以f（-x）=-f（x），
所以f（x）是奇函数．

点评 本题考查了抽象函数的问题，以及函数的奇偶性，关键是赋值，属于基础题．