Question

14．a²+b²+c²+x²+y²=16$\sqrt{21}$，求证：（ax+by）²+（bx+cy）²≤2016．

Answer 1

分析 只需考虑a，b，c，x，y≥0的情况即可，由对称性，不妨设x≥y，当a≥c时，[（ax+by）²+（bx+cy）²]-[（ay+bx）²+（by+cx）²]=（a²-c²）（x²-y²）≥0，此时前者更大，故又只需考虑a≥c的情况．此时，由柯西不等式及均值不等式，化简整理，即可得证．

解答 证明：只需考虑a，b，c，x，y≥0的情况即可，由对称性，不妨设x≥y，
当a≥c时，[（ax+by）²+（bx+cy）²]-[（ay+bx）²+（by+cx）²]
=（a²-c²）（x²-y²）≥0，
此时前者更大，故又只需考虑a≥c的情况．
此时，由柯西不等式及均值不等式，可得
（ax+by）²+（bx+cy）²=（ax+$\frac{b}{\sqrt{2}}$•$\sqrt{2}$y）²+（$\frac{b}{\sqrt{2}}$•$\sqrt{2}$x+cy）²+
≤（a²+$\frac{{b}^{2}}{2}$）（x²+2y²）+（$\frac{{b}^{2}}{2}$+c²）（2x²+y²）
=$\frac{3}{2}$（x²+y²）（a²+b²+c²）-$\frac{1}{2}$（x²-y²）（a²-c²）
≤$\frac{3}{2}$（x²+y²）（a²+b²+c²）
≤$\frac{3}{2}$•（$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{2}$）²=$\frac{3}{2}$•$\frac{16×16×21}{4}$=2016．
故不等式得证．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和均值不等式，考查化简变形的能力和推理能力，属于难题．