Question

13．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²+b²-c²=$\frac{3}{2}$ab．
（Ⅰ）求cos$\frac{C}{2}$的值；
（Ⅱ）若c=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及余弦定理可得cosC的值，利用C为锐角，可求范围$\frac{C}{2}∈（0，\frac{π}{4}）$，从而利用二倍角的余弦函数公式可求cos$\frac{C}{2}$的值；
（Ⅱ）利用基本不等式可求ab的最大值，由（Ⅰ）及同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形面积公式即可求△ABC面积的最大值．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得：$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{{\frac{3}{2}ab}}{2ab}=\frac{3}{4}$，（3分）
∴$cosC=2{cos^2}\frac{C}{2}-1=\frac{3}{4}$．（5分）
∴$cos\frac{C}{2}=±\frac{{\sqrt{14}}}{4}$，∵$\frac{C}{2}∈（0，\frac{π}{4}）$，∴$cos\frac{C}{2}=\frac{{\sqrt{14}}}{4}$（7分）
（Ⅱ）若c=2，则由（Ⅰ）知：8=2（a²+b²）-3ab≥4ab-3ab=ab，（10分）
又$sinC=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，（12分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC≤\frac{1}{2}×8×\frac{{\sqrt{7}}}{4}=\sqrt{7}$，
即△ABC面积的最大值为$\sqrt{7}$．    （14分）

点评 本题主要考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，基本不等式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．