Question

1．已知直线$\sqrt{2}$ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由直线$\sqrt{2}$ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=$\sqrt{2}$．圆心O（0，0）到直线$\sqrt{2}$ax+by=1的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得2a²+b²=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵直线$\sqrt{2}$ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，
∴|AB|=$\sqrt{2}$r=$\sqrt{2}$．
∴圆心O（0，0）到直线$\sqrt{2}$ax+by=1的距离d=$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为2a²+b²=2．
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$）（2a²+b²）=$\frac{1}{2}$（2+2+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}$）≥$\frac{1}{2}$（4+2$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{4{a}^{2}}{{b}^{2}}}$）=4，当且仅当b²=2a²=1取等号．
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$的最小值为 4．
故选：C．

点评 本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题．