Question

16．若函数f（x）=（2x²-ax-6a²）•ln（x-a）的值域是[0，+∞），则实数a=-$\frac{2}{5}$或1．

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系先求出两个函数的零点，根据函数的值域得到在定义域内两个函数的函数值同号，即可得到结论．

解答 解：f（x）=（x-2a）（2x+3a）ln（x-a），
由f（x）=0得x=2a，或x=-$\frac{3a}{2}$，或x=a+1，
若a=0，则f（x）=2x²•lnx，则函数的值域为（-∞，+∞），不满足条件．
若a＞0，则函数的定义域为x＞a，此时函数f（x）的零点为x=2a，x=a+1，
设y=（x-2a）（2x+3a），y=ln（x-a），
要使函数f（x）的值域为[0，+∞），则函数y=（x-2a）（2x+3a），y=ln（x-a），
则定义域（a，+∞）上函数值的符号相同，
即两个函数的零点相等即2a=a+1，得a=1，
若a＜0，则函数的定义域为x＞a，此时函数f（x）的零点为x=-$\frac{3a}{2}$，x=a+1，
设y=（x-2a）（2x+3a），y=ln（x-a），
要使函数f（x）的值域为[0，+∞），则函数y=（x-2a）（2x+3a），y=ln（x-a），
则定义域（a，+∞）上函数值的符号相同，
即两个函数的零点相等即-$\frac{3a}{2}$=a+1，得a=-$\frac{2}{5}$，
综上a=-$\frac{2}{5}$或a=1，
故答案为：-$\frac{2}{5}$或1．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件，利用构造法得到两个函数的零点关系是解决本题的关键．注意要利用数形结合进行求解．