Question

5．已知函数f（x）=cosx+ax²-1，a∈R，若对于任意的实数x恒有f（x）≥0，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． [-$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 对于任意的实数x恒有f（x）≥0，即有cosx+ax²-1≥0，即ax²≥1-cosx≥0，显然a≥0，运用参数分离和二倍角公式可得2a≥（$\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$）²，求出右边函数的范围，即可得到a的范围．

解答 解：对于任意的实数x恒有f（x）≥0，即有cosx+ax²-1≥0，
即ax²≥1-cosx≥0，显然a≥0，
x=0时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑x＞0的情况．
当x＞0时，a≥$\frac{1-cosx}{{x}^{2}}$=$\frac{2si{n}^{2}\frac{x}{2}}{{x}^{2}}$，
即为2a≥（$\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$）²，
由x＞0，则$\frac{x}{2}$=t＞0，考虑sint-t的导数为cost-1≤0，
即sint-t递减，即有sint-t＜0，即sint＜t，
则有$\frac{sint}{t}$＜1，故（$\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$）²＜1，
即有2a≥1，解得a≥$\frac{1}{2}$．
则实数a的取值范围为[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故选：A．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查导数的运用：判断单调性，属于中档题．