Question

14．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：
①异面直线AB与SC所成角为60°；
②BC与平面SAB所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
③二面角S-BC-A的余弦值为$\frac{1}{3}$，
其中所有正确命题的序号为②③．

Answer 1

分析 ①根据线面垂直性质可判断；
②根据公式cosθ=cosθ₁cosθ₂求解即可；
③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．

解答 解：①取AB中点M，
易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；

②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，
∴cos60°=cosθcos30°，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故正确；
③取BC中点N，
∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，
∴cos∠ANC=$\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-1}{2×\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{3}$，故正确，
故答案为：②③．

点评 考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．