Question

6．如图，设抛物线x²=4y的焦点为F，其准线与y轴相交于点Q，设P为抛物线上的一点，若$|{PQ}|=\sqrt{2}|{PF}|$，则△PQF的面积为2．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点和准线方程，求得Q（0，-1），设P（m，$\frac{1}{4}$m²），运用两点的距离公式，解方程可得m=2，运用三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：抛物线x²=4y的焦点为F（0，1），准线y=-1，
由题意可得Q（0，-1），
设P（m，$\frac{1}{4}$m²），由|PQ|=$\sqrt{2}$|PF|，
可得$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}}$，
解得m=2，
则△PQF的面积为$\frac{1}{2}$|FQ|•|x_P|=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
故答案为：2．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．