Question

18．命题“?x＜0，使得方程2^x+a=$\frac{1}{x-1}$有解”是真命题，则实数a的取值范围是（-2，0）．

Answer 1

分析 当 x∈（-∞，0）时，函数y=2^x与y=$\frac{1}{x-1}$分别是单调递增与单调递减函数，可得函数f（x）=2^x-$\frac{1}{x-1}$单调性，求其在x＜0时的范围，进而得出a的取值范围．

解答 解：当 x∈（-∞，0）时，函数y=2^x与y=$\frac{1}{x-1}$分别是单调递增与单调递减函数．
∴函数f（x）=2^x-$\frac{1}{x-1}$单调递增．
∴f（x）＜f（0）=2⁰+1=2．
又当x→-∞时，f（x）→0，
∴0＜f（x）＜2．
∵?x＜0，使得方程2^x+a=$\frac{1}{x-1}$有解，
∴-a∈（0，2），即a∈（-2，0）．
故答案为：（-2，0）．

点评 本题考查了函数的单调性和存在性问题的解法，考查数学转化思想方法，属于中档题．