Question

8．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．
（1）求角B的大小；
（2）若BD为AC边上的中线，cosA=$\frac{1}{7}$，BD=$\frac{\sqrt{129}}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知表达式，求出B的值即可．
（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求b，c的值，再由三角形面积公式可求结果；

解答 解：（1）∵2bcosC+c=2a．
由正弦定理可知：2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin（B+C）=2sinBcosC+2cosBsinC，
∴sinC=2cosBsinC，
∴cosB=$\frac{1}{2}$
∵B为三角形内角，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）在△ABC值，cosA=$\frac{1}{7}$，
∴sinA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{7}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{7}{5}$，
设b=7x，c=5x，
∵BD为AC边上的中线，BD=$\frac{\sqrt{129}}{2}$，
由余弦定理，得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA，
∴$\frac{129}{4}$=25x²+$\frac{1}{4}$×49x²-2×5x×$\frac{1}{2}$×7x×$\frac{1}{7}$
解得x=1，
∴b=7，c=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$7×5×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=10$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，熟记相关公式并灵活运用是解题关键，属于中档题．