Question

4．已知函数f（x）=$\frac{a}{3}$x³-$\frac{1}{2}$btx²+c（t²-1）x+t（t≠0）．
（1）当a=c=1，b=2时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求t的取值范围；
（2）若g（x）=f′（x）+b（t+1）x-c（t²-2），且当|x|≤1时|g（x）|≤1，求证：当|x|≤k＜1时，|g（x）|≤1+k-k²．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用函数单调性和区间的关系进行求解即可．
（2）化简函数g（x），利用一元二次函数的性质，结合绝对值不等式的性质进行转化证明即可．

解答 解：（1）当a=c=1，b=2时，
f（x）=$\frac{1}{3}$x³-tx²+（t²-1）x+t，
则函数的导数f′（x）=x²-2tx+t²-1=[x-（t-1）][x-（t+1）]，
由f′（x）=0得方程的根为x=t+1或x=t-1，
若f（x）在区间（-1，1）上不单调，
则f′（x）=x²-2tx+t²-1=0，在（-1，1）有解，
若t＞0，则t+1＞1，此时只要满足-1＜t-1＜1，即0＜t＜2，
若＜0，则t-1＜-1，此时只要满足-1＜t+1＜1，即-2＜t＜0，
综上0＜t＜2或-2＜t＜0；
（2）若g（x）=f′（x）+b（t+1）x-c（t²-2）=x²-btx+c（t²-1）+b（t+1）x-c（t²-2）=ax²+bx+c，
∵|x|≤k＜1，∴0≤k＜1，∴当k²≤k，
即k-k²≥0，即1+k-k²≥1，
∵当|x|≤1时，|g（x）|≤1，
∴当|x|≤1时，|g（x）|≤1+k-k²，
∴当|x|≤k＜1时，|g（x）|≤1+k-k²．

点评 本题主要考查函数单调性与导数的应用绝对值的应用，求函数的导数，同时转化为一元二次函数利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．