Question

16．如图，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点在抛物线y²=4$\sqrt{2}$x的准线上，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，若不过椭圆E上顶点A的动直线l与椭圆E交于P、Q两点，且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0．
（1）求椭圆E的方程；
（2）证明：直线l过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y²=4$\sqrt{2}$x，可得准线x=-$\sqrt{2}$．可得：椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点$（-\sqrt{2}，0）$，c=$\sqrt{2}$．又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a²=b²+c²．联立解出即可得出．
（2）设直线l的方程为：y=kx+m.$（m≠\sqrt{2}）$，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），A（0，$\sqrt{2}$）．与椭圆方程联立化为（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，△＞0，利用$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0．（1+k²）x₁x₂+$k（m-\sqrt{2}）$（x₁+x₂）+$（m-\sqrt{2}）^{2}$=0，再把根与系数的关系代入即可得出．

解答 解：（1）由抛物线y²=4$\sqrt{2}$x，可得准线x=-$\sqrt{2}$．
可得：椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点$（-\sqrt{2}，0）$，∴c=$\sqrt{2}$．
又椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，及a²=b²+c²．
联立解得a=$\sqrt{3}$，b=1．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）设直线l的方程为：y=kx+m.$（m≠\sqrt{2}）$，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），A（0，$\sqrt{2}$）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化为（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，
△＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-6km}{2+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$=0．
∴x₁x₂+$（{y}_{1}-\sqrt{2}）（{y}_{2}-\sqrt{2}）$=0，
即x₁x₂+$（k{x}_{1}+m-\sqrt{2}）$$（k{x}_{2}+m-\sqrt{2}）$=0，
化为：（1+k²）x₁x₂+$k（m-\sqrt{2}）$（x₁+x₂）+$（m-\sqrt{2}）^{2}$=0，
∴$\frac{（1+{k}^{2}）（3{m}^{2}-6）}{2+3{k}^{2}}$+$\frac{-6{k}^{2}m（m-\sqrt{2}）}{2+3{k}^{2}}$+$（m-\sqrt{2}）^{2}$=0，
化为：5m+$\sqrt{2}$=0，解得m=-$\frac{\sqrt{2}}{5}$．
∴直线l经过定点$（0，-\frac{\sqrt{2}}{5}）$．

点评 本题考查了抛物线与椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量的数量积运算性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．