Question

11．已知数列{a_n}（n=1，2，3，…），⊙C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-2=0和⊙C₂：x²+y²+2x+2y-2=0．若⊙C₁和⊙C₂交于A、B两点，且这两点平分⊙C₂的周长
（1）求证数列{a_n}是等差数列；
（2）若a₁=1，则当⊙C₁面积最小时，求出⊙C₁的方程．

Answer 1

分析 （1）⊙C₁和⊙C₂的方程相减可得直线AB的方程：（1+a_n）x+（1-a_n+1）y=0．由于⊙C₁和⊙C₂交于A、B两点，且这两点平分⊙C₂的周长，可得AB经过⊙C₂的圆心（-1，-1），可得1+a_n+1-a_n+1=0，即可证明．
（2）当a₁=1时，a_n=2n-1．⊙C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-2=0配方变为：$（x-{a}_{n}）^{2}$+$（y+{a}_{n+1}）^{2}$=${a}_{n}^{2}+{a}_{n+1}^{2}$+2．半径R满足：R²=${a}_{n}^{2}+{a}_{n+1}^{2}$+2=（2n-1）²+（2n+1）²+2=8n²+4≥12，即可得出．

解答 （1）证明：⊙C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-2=0和⊙C₂：x²+y²+2x+2y-2=0相减可得直线AB的方程：（1+a_n）x+（1-a_n+1）y=0．
∵⊙C₁和⊙C₂交于A、B两点，且这两点平分⊙C₂的周长，
∴AB经过⊙C₂的圆心（-1，-1），
∴1+a_n+1-a_n+1=0，即a_n+1-a_n=2，
∴数列{a_n}是公差为2的等差数列．
（2）解：当a₁=1时，a_n=1+2（n-1）=2n-1．
⊙C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-2=0配方变为：$（x-{a}_{n}）^{2}$+$（y+{a}_{n+1}）^{2}$=${a}_{n}^{2}+{a}_{n+1}^{2}$+2．
半径R满足：R²=${a}_{n}^{2}+{a}_{n+1}^{2}$+2=（2n-1）²+（2n+1）²+2=8n²+4≥12，当n=1时q取等号，
此时⊙C₁面积最小，⊙C₁的方程为：（x-1）²+（y+3）²=12．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．