Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{tanB}{tanA+tanB}$=$\frac{b}{2c}$
（I）求角A；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{a}$=（0，-1），$\overrightarrow{b}$=（cosB，2cos²$\frac{C}{2}$），求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （I）将切化弦，利于和角公式和正弦定理化简得出cosA；
（II）求出$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标，计算|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²，根据B的范围解出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的范围．

解答 解：（I）∵$\frac{tanB}{tanA+tanB}$=$\frac{b}{2c}$，∴$\frac{\frac{sinB}{cosB}}{\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}}=\frac{sinB}{2sinC}$，整理得cosA=$\frac{1}{2}$．∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）∵2cos²$\frac{C}{2}$=1+cosC=1-cos（B+$\frac{π}{3}$）=1-$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB，∴$\overrightarrow{b}$=（cosB，1-$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB）．
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（cosB，-$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB），
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=cos²B+（-$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB）²=$\frac{3}{4}$+$\frac{1+cos2B}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2B=1+$\frac{1}{2}$cos（2B+$\frac{π}{3}$）．
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{3}$＜2B+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{3}$．∴-1≤cos（2B+$\frac{π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$≤（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²＜$\frac{5}{4}$．
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数化简，平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，属于中档题．