Question

12．F（1，0）为一定点，P（0，b）是y轴上的一动点，x轴上的点M满足$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，若点N满足2$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NM}$=0，求：
（1）点N的轨迹曲线C的方程；
（2）曲线C的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹．

Answer 1

分析 （1）由2$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NM}$=0可知M，N关于点P对称，设N（x，y）得出M点坐标，求得$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PN}$的坐标，代入数量积公式整理得出轨迹方程；
（2）设交点坐标为（x₀，y₀），切线斜率为k，联立方程组消元，令判别式△=0得出关于k的方程，根据切线垂直和根与系数的关系得到x₀，y₀的关系，即轨迹方程．

解答 解：（1）∵2$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NM}$=0，∴点M，N关于点P对称，
设N（x，y），则M（-x，2b-y），∵M在x轴上，∴y=2b，即b=$\frac{y}{2}$．
$\overrightarrow{PM}$=（-x，-b），$\overrightarrow{PF}$=（1，-b），∵$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，∴-x+b²=0，∴-x+$\frac{{y}^{2}}{4}$=0，即y²=4x．
∴点N的轨迹曲线C的方程是y²=4x．
（2）设曲线C的两条互相垂直的垂线的交点坐标为（x₀，y₀），切线的斜率为k，则切线方程为y-y₀=k（x-x₀），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{0}=k（x-{x}_{0}）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：$\frac{k}{4}$y²-y+y₀-kx₀=0，
∴△=1-k（y₀-kx₀）=0，即x₀k²-y₀k+1=0．∴k₁k₂=$\frac{1}{{x}_{0}}$=-1，∴x₀=-1．
曲线C的任何两条相互垂直的切线的交点轨迹是直线x=-1．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，轨迹方程的求解，属于中档题．