Question

6．如图的椭圆C₁，C₂的离心率相等，中心均为坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上，且两椭圆都过点（0，$\sqrt{2}$），设点F是椭圆C₂的上焦点，过点F的动直线l交椭圆C₁于A，B两点，交椭圆C₂于C，D两点，当直线l经过椭圆C₁的左焦点时，$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
（1）求椭圆C₁，C₂的标准方程；
（2）平面内是否存在与点F不同的定点P，使得∠APC=∠BPD恒成立？若存在，求出定点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$），C₂：$\frac{{y}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（$\sqrt{2}$＞n＞0），又设直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{a}$x+$\frac{\sqrt{2{a}^{2}-4}}{a}$，分半代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到；
（2）平面内假设存在与点F不同的定点P，使得∠APC=∠BPD恒成立．讨论斜率为0和不为0，设出直线方程，代入椭圆方程，运用中点坐标公式，即可判断．

解答 解：（1）由题意可设椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$），
C₂：$\frac{{y}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（$\sqrt{2}$＞n＞0），
且e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-2}}{a}$=$\frac{\sqrt{2-{n}^{2}}}{\sqrt{2}}$，化为an=2，即有n=$\frac{2}{a}$，
椭圆C₁的左焦点为（-$\sqrt{{a}^{2}-2}$，0），F（0，$\sqrt{2-{n}^{2}}$），
又设直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{a}$x+$\frac{\sqrt{2{a}^{2}-4}}{a}$，
代入椭圆C₁，可得4x²+4$\sqrt{{a}^{2}-2}$x-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），即有x₁+x₂=-$\sqrt{{a}^{2}-2}$，
由焦半径公式可得|AB|=a+ex₁+a+ex₂
=2a+e（x₁+x₂）=2a-$\frac{{a}^{2}-2}{a}$=$\frac{{a}^{2}+2}{a}$，
将直线l的方程代入椭圆C₂，可得，
$\frac{2{a}^{4}+8}{{a}^{4}}$x²+$\frac{16\sqrt{{a}^{2}-2}}{{a}^{4}}$x-$\frac{16}{{a}^{4}}$=0，
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
可得x₃+x₄=-$\frac{8\sqrt{{a}^{2}-2}}{{a}^{4}+4}$，
y₃+y₄=$\frac{\sqrt{2}}{a}$（x₃+x₄）+$\frac{2\sqrt{2{a}^{2}-4}}{a}$
=$\frac{2\sqrt{2}{a}^{3}\sqrt{{a}^{2}-2}}{{a}^{4}+4}$，
即有|CD|=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-2}}{a}$（y₃+y₄）
=$\frac{4\sqrt{2}（{a}^{2}+2）}{{a}^{4}+4}$，
由$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，可得$\frac{{a}^{4}+4}{4\sqrt{2}a}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
解得a=2，n=1，
即有椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
C₂：$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1；
（2）平面内假设存在与点F不同的定点P，
使得∠APC=∠BPD恒成立．
当直线l的斜率为0，且为y=1，
由对称性可得P在y轴上；
又设直线l：y=kx+1，k≠0，
代入椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
可得（1+2k²）x²+4kx-2=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，
将直线y=kx+1代入椭圆C₂：$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1，
可得（2+k²）x²+2kx-1=0，
即有x₃+x₄=-$\frac{2k}{2+{k}^{2}}$，
由-$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{k}{2+{k}^{2}}$，k无解．
可得AB，CD的中点不重合．
综上可得，平面内不存在与点F不同的定点P，使得∠APC=∠BPD恒成立．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查存在定点的问题，注意运用假设存在，结合图形，属于中档题．