Question

3．设命题q：对任意实数x，不等式x²-2x+m≥0恒成立；命题q：方程$\frac{x^2}{m-3}-\frac{y^2}{m}=1$表示焦点在x轴上的双曲线．
（1）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（ 2）若命题：“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由方程$\frac{x^2}{m-3}-\frac{y^2}{m}=1$表示焦点在x轴上的双曲线．可得$\left\{\begin{array}{l}m-3＞0\\ m＞0\end{array}\right.$，得m范围．
（2）由不等式x²-2x+m≥0恒成立，可得△≤0，由p∧q为假命题，p∨q为真命题，可得p，q一真一假．

解答 解：（1）∵方程$\frac{x^2}{m-3}-\frac{y^2}{m}=1$表示焦点在x轴上的双曲线．
∴$\left\{\begin{array}{l}m-3＞0\\ m＞0\end{array}\right.$，得m＞3；
∴当m＞3时，q为真命题．
（2）∵不等式x²-2x+m≥0恒成立∴△=4-4m≤0，
∴m≥1，∴当m≥1时，p为真命题．
∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p，q一真一假；
①当p真q假$\left\{\begin{array}{l}m≥1\\ m≤3\end{array}\right.⇒1≤m≤3$．
②当p假q真$\left\{\begin{array}{l}m＜1\\ m＞3\end{array}\right.$，无解．
综上，m的取值范围是[1，3]．

点评 本题考查了不等式的解法、双曲线的标准方程及其性质、复合命题真假的判定及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．