Question

4．给出以下命题：
①方程4x²-8x+3=0的两个根可分别作为椭圆与双曲线的离心率；
②若向量$\overrightarrow{a}$=（m，-2，3）与$\overrightarrow{b}$=（5，m²，1）的夹角为锐角，则-$\frac{1}{2}$＜m＜3；
③在正项等差数列{a_n}中，$\frac{a_3}{a_2+a_9}$+$\frac{a_8}{a_5+a_6}$=1；
④当x＞0时，函数f（x）=x²+$\frac{1}{x^2}$-8x-$\frac{8}{x}$+22的最小值是4．
其中正确命题的序号是①②③④．

Answer 1

分析 ①求出方程的根，结合椭圆和双曲线离心率的关系进行判断．
②根据向量数量积的应用进行求解．
③根据等差数列的性质进行求解．
④利用换元法结合基本不等式以及一元二次函数的性质进行求解．

解答 解：①由4x²-8x+3=0得x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{3}{2}$，即方程的两个根可分别作为椭圆与双曲线的离心率；故①正确，
②若向量$\overrightarrow{a}$=（m，-2，3）与$\overrightarrow{b}$=（5，m²，1）的夹角为锐角，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$＞0，（∵两个向量方向不相同），
∴5m-2m²+3＞0，即2m²-5m-3＜0，得-$\frac{1}{2}$＜m＜3；故②正确，
③在正项等差数列{a_n}中，$\frac{a_3}{a_2+a_9}$+$\frac{a_8}{a_5+a_6}$=$\frac{{a}_{3}+{a}_{8}}{{a}_{2}+{a}_{9}}=\frac{{a}_{2}+{a}_{9}}{{a}_{2}+{a}_{9}}$=1，故③正确；
④当x＞0时，函数f（x）=x²+$\frac{1}{x^2}$-8x-$\frac{8}{x}$+22=（x+$\frac{1}{x}$）²-8（x+$\frac{1}{x}$）+20，
设t=x+$\frac{1}{x}$，则t≥2，此时函数等价为y=t²-8t+20=（t-4）²+4，
故当t=4时，函数取得的最小值4，故④正确，
故答案为：①②③④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．