Question

7．当x∈[-2，0）时，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是a≤-2．

Answer 1

分析 根据题意，把不等式ax³-x²+4x+3≥0化为a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，利用导数求出f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$在x∈[-2，0）上的最小值f（x）_min，即可得出实数a的取值范围．

解答 解：x∈[-2，0）时，不等式ax³-x²+4x+3≥0可化为a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，
设f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，x∈[-2，0），
则f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{8}{{x}^{3}}$+$\frac{9}{{x}^{4}}$=-$\frac{{x}^{2}-8x-9}{{x}^{4}}$，
令f′（x）=0，解得x=-1或x=9（不合题意，舍去）；
当-2≤x＜-1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以，f（x）_min=f（-1）=-2，
所以a≤-2；
即实数a的取值范围是a≤-2．
故答案为：a≤-2．

点评 本题考查了用构造函数法求不等式中参数取值范围的应用问题，也考查了利用导数求函数最值的应用问题，是综合性题目．