Question

12．分别根据下列条件，求圆的方程：
（1）过点P（-2，2），圆心是C（3，0）；
（2）与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x-3y+5=0
（3）过点A（3，5），B（-3，7），且圆心在x轴上；
（4）过点A（-4，0），B（0，2）和原点．

Answer 1

分析 由条件利用圆的标准方程和一般方程的特征，用待定系数法求出圆的方程．

解答 解：（1）由圆过点P（-2，2），且圆心是C（3，0），可得圆的半径为PC=$\sqrt{{（3+2）}^{2}{+（0-2）}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
故要求的圆的方程为 （x-3）²+y²=29．
（2）由圆心在直线2x-3y+5=0上，可设圆心为C（a，$\frac{2a+5}{3}$），由与两坐标轴都相切，可得|a|=|$\frac{2a+5}{3}$|，
求得a=5，或a=-1．
若a=5，则圆心为（5，5），半径为5，圆的方程为 （x-5）²+（y-5）²=25；
若a=-1，则圆心为（-1，1），半径为1，圆的方程为 （x+1）²+（y-1）²=1．
（3）根据圆的圆心过点A（3，5），B（-3，7），且圆心在x轴上，可设圆心为C（a，0），
由CA=CB，可得（a-3）²+5²=（a+3）²+7²，求得a=-2，可得圆心为C（-2，0），半径CA=5$\sqrt{2}$，
故要求的圆的方程为 （x+2）²+y²=50．
（4）设过点A（-4，0），B（0，2）和原点（0，0）的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则由$\left\{\begin{array}{l}{16+0-4D+F=0}\\{4+2E+F=0}\\{F=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{D=4}\\{E=-2}\\{F=0}\end{array}\right.$，故要求的圆的方程为x²+y²-4x-2y=0．

点评 本题主要考查求圆的标准方程和一般方程的方法，属于基础题．