Question

【题目】已知（ ﹣ ）n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
（1）证明：展开式中没有常数项；
（2）求展开式中所有有理项．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，前三项系数的绝对值是1，C1n（ ），C2n（ ）2，

且2C1n =1+C2n（ ）2，

即n2﹣9n+8=0，∴n=8（n=1舍去），

∴展开式的第k+1项为Ck8（ ）8﹣k（﹣ ）k

=（﹣ ）kCk8x x﹣ =（﹣1）kCk8x ．

证明：若第k+1项为常数项，

当且仅当 =0，即3k=16，

∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项

（2）解：若第k+1项为有理项，当且仅当 为整数，

∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，

即展开式中的有理项共有三项，它们是：

T1=x4，T5= x，T9= x﹣2

【解析】（1）利用二项展开式的通项公式求出前三项的系数，列出方程求出n，再利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0得到常数项，方程无解，得证．（2）令展开式中的x的指数为有理数，求出k值，再求出相应的有理项．
【考点精析】掌握等差数列的性质和二项式定理的通项公式是解答本题的根本，需要知道在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列；二项式通项公式:．