Question

16．已知函数f（x）=x²-4x，若关于x的方程|f（x）|+|f（a-x）|-t=0有四个不同的实根，且所有实根之和为4，则实数t的取值范围是（4，6）．

Answer 1

分析 设F（x）=|f（x）|+|f（a-x）|，从而可得F（x）的图象关于x=$\frac{a}{2}$对称；从而解得a=2；从而得到F（x）=|x²-4x|+|4-x²|，作其图象，结合图象解得．

解答 解：设F（x）=|f（x）|+|f（a-x）|，
则F（a-x）=|f（a-x）|+|f（x）|=F（x），
故F（x）的图象关于x=$\frac{a}{2}$对称；
又∵F（x）=t有四个不同的实根，且所有实根之和为4，
∴$\frac{a}{2}$×2+$\frac{a}{2}$×2=4，
解得a=2；
故F（x）=|f（x）|+|f（2-x）|=|x²-4x|+|4-x²|，
作其图象如下，
，
结合图象可知，4＜t＜6；
故答案为：（4，6）．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及函数的性质的判断与应用．