Question

7．已知f（x）=asinωx+$\sqrt{3}cosωx（a＜0，\frac{1}{6}＜ω＜\frac{1}{3}）$，f（x）的最大值为2，过点（$\frac{5π}{3}$，0）
（1）求a，ω的值；
（2）设α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（5α+$\frac{5π}{3}$）=-$\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5π}{3}$）=$\frac{16}{17}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=asinωx+$\sqrt{3}cosωx（a＜0，\frac{1}{6}＜ω＜\frac{1}{3}）$，f（x）的最大值为2，过点（$\frac{5π}{3}$，0），可得$\sqrt{{a}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2（a＜0），$f（\frac{5π}{3}）$=$asin（\frac{5π}{3}ω）$+$\sqrt{3}cos（\frac{5π}{3}ω）$=0，解出即可．
（2）由（1）可得：f（x）=-2$sin（\frac{1}{5}x-\frac{π}{3}）$．由于f（5α+$\frac{5π}{3}$）=-$\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5π}{3}$）=$\frac{16}{17}$，代入可得：$-2sin（α+\frac{π}{3}-\frac{π}{3}）$=-$\frac{6}{5}$，$-2sin（β-\frac{π}{3}-\frac{π}{3}）$=$\frac{16}{17}$，化为$sinα=\frac{3}{5}$，$sin（β-\frac{2π}{3}）$=-$\frac{8}{17}$．又α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得$cosα=\frac{4}{5}$，$cos（β-\frac{2π}{3}）$=$\frac{15}{17}$，可得sinβ=$sin（β-\frac{2π}{3}+\frac{2π}{3}）$，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=asinωx+$\sqrt{3}cosωx（a＜0，\frac{1}{6}＜ω＜\frac{1}{3}）$，f（x）的最大值为2，过点（$\frac{5π}{3}$，0），
∴$\sqrt{{a}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2（a＜0），$f（\frac{5π}{3}）$=$asin（\frac{5π}{3}ω）$+$\sqrt{3}cos（\frac{5π}{3}ω）$=0，即$tan（\frac{5π}{3}ω）$=$\sqrt{3}$，$\frac{5π}{3}ω$∈$（\frac{5π}{18}，\frac{5π}{9}）$．
解得a=-1，$ω=\frac{1}{5}$．
（2）由（1）可得：f（x）=-sin$\frac{1}{5}x$+$\sqrt{3}cos\frac{1}{5}x$=-2$sin（\frac{1}{5}x-\frac{π}{3}）$．
f（5α+$\frac{5π}{3}$）=-$\frac{6}{5}$，f（5β-$\frac{5π}{3}$）=$\frac{16}{17}$，
∴$-2sin（α+\frac{π}{3}-\frac{π}{3}）$=-$\frac{6}{5}$，$-2sin（β-\frac{π}{3}-\frac{π}{3}）$=$\frac{16}{17}$，
化为$sinα=\frac{3}{5}$，$sin（β-\frac{2π}{3}）$=-$\frac{8}{17}$．
又α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$cosα=\frac{4}{5}$，$cos（β-\frac{2π}{3}）$=$\frac{15}{17}$，
sinβ=$sin（β-\frac{2π}{3}+\frac{2π}{3}）$=$sin（β-\frac{2π}{3}）cos\frac{2π}{3}$+$cos（β-\frac{2π}{3}）sin\frac{2π}{3}$
=$-\frac{8}{17}×（-\frac{1}{2}）$+$\frac{15}{17}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{8+15\sqrt{3}}{34}$．
∴cosβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{417-240\sqrt{3}}}{34}$．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=$\frac{4}{5}×$$\frac{\sqrt{417-240\sqrt{3}}}{34}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{8+15\sqrt{3}}{34}$
=$\frac{4\sqrt{417-240\sqrt{3}}-24-45\sqrt{3}}{170}$．

点评 本题考查了和差公式、同角三角函数基本关系式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．