Question

6．若a，b是正实数，且a+b=2，则$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$的最小值是1．

Answer 1

分析 由题意可得（1+a）+（1+b）=4，代入可得$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$）[（1+a）+（1+b）]=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{1+b}{1+a}$+$\frac{1+a}{1+b}$），由基本不等式可得．

解答 解：∵a，b是正实数，且a+b=2，
∴（1+a）+（1+b）=4，
∴$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$）[（1+a）+（1+b）]
=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{1+b}{1+a}$+$\frac{1+a}{1+b}$）≥$\frac{1}{4}$（2+2$\sqrt{\frac{1+b}{1+a}•\frac{1+a}{1+b}}$）=1
当且仅当$\frac{1+b}{1+a}$=$\frac{1+a}{1+b}$即a=b=1时取等号，
故答案为：1．

点评 本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．