Question

如图，已知双曲线C₁：＝1(m＞0，n＞0)，圆C₂：(x－2)²＋y²＝2，双曲线C₁的两条渐近线与圆C₂相切，且双曲线C₁的一个顶点A与圆心C₂关于直线y＝x对称，设斜率为k的直线l过点C₂．

(1)求双曲线C₁的方程；

(2)当k＝1时，在双曲线C₁的上支上求一点P，使其与直线l的距离为2．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)双曲线C1的两条渐近线方程为： 　　y＝±x，顶点A为(0，) 　　∵双曲线C1的两渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝2相切 　　∴＝ 　　即＝1　　　　　　① 　　又∵A(0，)与圆心C2(2，0)关于直线y＝x对称 　　∴＝2　　　　　　　② 　　由①、②解得：m＝n＝4 　　故双曲线C1的方程为：y2－x2＝4 　　(2)当k＝1时，由l过点C2(2，0)知： 　　直线l的方程为：y＝x－2 　　设双曲线C1上支上一点P(x0，y0)到直线l的距离为2，则 　　故 　　或 　　解得或 　　又∵点P(x0，y0)在双曲线C1的上支上，故y0＞0 　　故点P的坐标为(2，2)．