Question

16．点P是直线kx+y+3=0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：x²-2x+y²=0的两条切线，A，B为切点．若四边形PACB的最小面积为2，则实数k的值是2．

Answer 1

分析 先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为△PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．

解答 解：圆C：x²-2x+y²=0的圆心（1，0），半径是r=1，由圆的性质知：S_{四边形PACB}=2S_△PBC，
∵四边形PACB的最小面积是2，
∴S_△PBC的最小值=1=$\frac{1}{2}$rd（d是切线长），∴d_最小值=2
圆心到直线的距离就是PC的最小值，$\sqrt{1+4}$=$\frac{|k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
∴k=2或k=-$\frac{1}{2}$，
∵k＞0，∴k=2．
故答案为2．

点评 本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．