Question

已知椭圆的离心率为，为椭圆在轴正半轴上的焦点，、两点在椭圆上，且，定点.

   （I）求证：当时；

   （II）若当时有，求椭圆的方程；

   （III）在（II）的椭圆中，当、两点在椭圆上运动时，试判断 是否有最大值，若存在，求出最大值，并求出这时、两点所在直线方程，若不存在，给出理由.

Answer 1

解：（I）设，则，

当时，，

由M，N两点在椭圆上，

若，则舍，

（3分）

     （II）当时，不妨设

又，

，椭圆C的方程为（8分）

   （III），

设直线MN的方程为

联立，得，（10分）

记 ，

则（11分）

，当，即时取等号 ．

并且，当k=0时，

当k不存在时

综上有最大值，最大值为

此时，直线的MN方程为，或（14分）