Question

（2010•陕西一模）已知函数f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用辅助角公式可将f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）转化为f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

），为偶函数，⇒φ=kπ+

2π

3

，0＜φ＜π，可确定φ的值；又y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，从而求得ω；
（Ⅱ）f（x）=2cos2x⇒g（x）=f（x-

π

6

）=2cos（2x-

π

3

），由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π (k∈Z)即可得g（x）的单调递减区间．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2[

3

2

sin(ωx+φ)-

1

2

cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ-

π

6

)．-------（2分）
因为f（x）为偶函数，
所以ω•0+φ-

π

6

=kπ+

π

2

(k∈Z)，即φ=kπ+

2π

3

(k∈Z)．
又因为0＜φ＜π，故φ=

2π

3

．--------（4分）
所以f(x)=2sin(ωx+

π

2

)=2cosωx．
由题意得

2π

ω

=2×

π

2

，所以ω=2．---------（6分）
（Ⅱ）由知f（x）=2cos2x，
所以g(x)=f(x-

π

6

)=2cos[2(x-

π

6

)]=2cos(2x-

π

3

)．--------（9分）
由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π (k∈Z)，解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π 3

(k∈Z)，
因此g（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]

(k∈Z)．----（12分）

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，关键是用好辅助角公式，将f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）转化为f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

），再由其奇偶性与周期确定φ的值，重点考查三角函数的平移变换与单调性，属于中档题．