Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，点M位于线段PC上，PA∥平面MBD，已知AD=4，BD=4

3

，AB=2CD=8．
（Ⅰ）求

PM

MC

的值；
（Ⅱ）证明：在△ABD内存在一点N，使MN⊥平面PBD，并求点N到DA，DB的距离．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于K，连接MK，则

AK

KC

=

AB

DC

=2，由PA∥平面MBD，结合直线与平面平行的性质得PA∥MK，利用比例线段即得

PM

MC

=

AK

KC

=2；
（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出各顶点的坐标，在平面直角坐标系xoy中，△ABD的内部区域满足不等式组，从而得出在△ABO内存在一点N，使MN⊥平面PBD，由点N的坐标得点N到DA，DB的距离即可．

解答：解：（1）连接AC交BD于K，连接MK，则

AK

KC

=

AB

DC

=2，
由PA∥平面MBD，平面PAC∩平面MBD=MK，
得PA∥MK，∴

PM

MC

=

AK

KC

=2．（6分）
（2）AD=4，BD=4

3

，AB=8，∴DA⊥DB，
如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则由题意得，D（0，0，0），B(0，4

3

，0)，P(2，0，2

3

)，M(-

2

3

，

4 3

3

，

2 3

3

)，设点N的坐标为（x₀，y₀，0），
则

NM

=(x0+

2

3

，y0-

4 3

3

，-

2 3

3

)，
因为MN⊥平面PBD，则

NM

•

DB

=0，

NM

•

DP

=0，∴x0=

4

3

，y0=

4 3

3

，
即点N的坐标为N(

4

3

，

4 3

3

，0)，（12分）
在平面直角坐标系xoy中，△ABD的内部区域满足不等式组

x＞0 y＜0 3 x-y＜4 3 .

经检验，点N的坐标满足上述不等式组，
所以在△ABO内存在一点N，使MN⊥平面PBD，
由点N的坐标得点N到DA，DB的距离为

4 3

3

，

4

3

．（14分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的性质，点、线、面的距离的计算，其中根据已知得到DA⊥DB，建立空间坐标系，将问题转化为向量的计算问题是解答本题的关键．