Question

【题目】如图所示，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F分别为线段AD，PC的中点.

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：BE⊥平面PAC.

Answer 1

【答案】 (1) 证明见解析

(2) 证明见解析

【解析】

（1）连接CE，OF，易知四边形ABCE是菱形，可得O是AC的中点，利用中位线的概念，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；

（2）通过证明AP⊥BE、BE⊥AC，可证明BE⊥平面PAC

证明：　(1)如图所示，设AC∩BE＝O，连接OF，EC.

由于E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，

所以AE∥BC，且AE＝AB＝BC，因此，四边形ABCE为菱形，

所以O为AC的中点.又F为PC的中点，

所以在△PAC中，可得AP∥OF.

又OF平面BEF，AP平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

(2)由题意，知ED∥BC，ED＝BC，

所以四边形BCDE为平行四边形，所以BE∥CD.

又AP⊥平面PCD，所以AP⊥CD，所以AP⊥BE.

因为四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.

又AP∩AC＝A，AP，AC平面PAC，

所以BE⊥平面PAC