【题目】已知函数.
(1)判断函数的零点的个数并说明理由;
(2)求函数零点所在的一个区间,使这个区间的长度不超过
;
(3)若,对于任意的
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)一个,理由见解析;(2);
.
【解析】
(1)分析函数的单调性,结合零点存在定理可得出结论;
(2)先可求得函数的零点所在的一个区间为
,然后利用二分法可得出
的一个零点所在的区间,且这个区间的长度不超过
;
(3)由题意可知,,利用函数
的单调性求出该函数在区间
的最大值
,将问题转化为关于
的不等式
对任意的
恒成立,可得出
,由此可解出实数
的取值范围.
(1)由题易知:函数的定义域为
,且在
上连续,
,
,
,
函数
和
在
上都是增函数,
所以,函数在
上是增函数,
因此,函数在
上有且只有一个零点;
(2)设函数的零点为
,由(1)知:
,
,
,
取,
,
,
且
,
即为符合条件的区间;
(3)当时,对于任意的
,不等式
恒成立等价于
,
,
.
由函数在
上是增函数,可知
,
对任意
恒成立,
对任意
恒成立,
,解得
,
因此,的取值范围是
.
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【题目】风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树,记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离,现可测得A,B两点间的距离为100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如图所示.则P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离各为多少?
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【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50 kg | 箱产量≥50 kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:
P( | 0.050 0.010 0.001 |
k | 3.841 6.635 10.828 |
.
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【题目】如图所示,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.
(1)求证:AP∥平面BEF;
(2)求证:BE⊥平面PAC.
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【题目】在四面体ABCD中,与
都是边长为8的正三角形,点O是线段BC的中点.
(1)证明:.
(2)若为锐角,且四面体ABCD的体积为
求侧面ACD的面积.
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【题目】某生产基地有五台机器,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则下列叙述错误的的是_____________.
①甲只能承担第四项工作
②乙不能承担第二项工作
③丙可以不承担第三项工作
④丁可以承担第三项工作
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【题目】假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料:
使用年限x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由资料知y对x呈线性相关关系.
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据最小二乘法求出线性回归方程的回归系数a,b;
(3)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
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