Question

已知f₁（x）=x+1，且f_n（x）=f₁[f_n-1（x）]，（n≥2，n∈N₊）
（1）求f₂（x），f₃（x）的表达式，猜想f_n（x）的表达式，并用数学归纳法证明；
（2）若关于x的函数g(x)=x2+f1(x)+f2(x)+…+fn(x)，(n∈N*)在区间（-∞，-1]上的最小值为12，求n．

Answer 1

分析：（1）利用f₁（x）=x+1，且f_n（x）=f₁[f_n-1（x）]，计算可得f₂（x），f₃（x）的表达式，猜想f_n（x）=x+n，再用数学归纳法证明即可；
（2）由f_n（x）=x+n，可得f₁（x）+f₂（x）+…+f_n（x）=nx+

n(n+1)

2

，再利用配方法确定函数在区间（-∞，-1]上的最小值为12，即可求得n的值．

解答：（1）解：f₂（x）=f₁[f₁（x）]=x+2，f₃（x）=f₁[f₂（x）]=x+3，
猜想f_n（x）=x+n
证明：①当n=1时，f₁（x）=x+1，成立；
②假设n=k时成立，即f_k（x）=x+k，则n=k+1时，f_k+1（x）=f₁[f_k（x）]=x+k+1
∴n=k+1时，结论成立
由①②可知f_n（x）=x+n；
（2）解：∵f_n（x）=x+n
∴f₁（x）+f₂（x）+…+f_n（x）=nx+

n(n+1)

2

∴g（x）=x²+f₁（x）+f₂（x）+…+f_n（x）=x²+nx+

n(n+1)

2

=（x+

n

2

）²+

n2+2n

4

①当-

n

2

＞-1，即n＜2时，函数在（-∞，-1]上为减函数，∴x=-1时，g（x）_min=

n2-n+2

2

=12，方程无正整数解舍去；
②当-

n

2

≤-1，即n≥2时，x=-

n

2

时，g（x）_min=

n2+2n

4

=12，∴n=6或n=-8（舍去）
综上，n=6．

点评：本题考查学生的计算能力，考查数学归纳法，考查函数的最值，属于中档题．