Question

在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

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DC，E为PD中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：AE⊥平面PDC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC的中点M，连接EM，证明AE∥BM，通过AE不在平面PBC内，证明AE∥平面PBC．
（Ⅱ）证明CD⊥BM．推出BM⊥平面PDC，然后证明AE⊥平面PDC．

解答：证明：（Ⅰ）取PC的中点M，连接EM，…（2分）
则EM∥CD，EM=

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DC，所以有EM∥AB且EM=AB，
则四边形ABME是平行四边形．所以AE∥BM，
因为AE不在平面PBC内，所以AE∥平面PBC．…（7分）
（Ⅱ）因为AB⊥平面PBC，AB∥CD，所以CD⊥平面PBC，
所以CD⊥BM．
由（Ⅰ）得，BM⊥PC，所以BM⊥平面PDC，
又AE∥BM，所以AE⊥平面PDC…（14分）

点评：本题考查直线与平面的平行，直线与平面垂直，考查判定定理的应用，逻辑推理能力．