Question

已知函数．

（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）讨论零点的个数．

 

Answer 1

(1)单调递减函数；(2)；(3)当或时，有1个零点.当或或时，有2个零点；当或时，有3个零点.

【解析】

试题分析：(1)先根据条件化简函数式，根据常见函数的单调性及单调性运算法则，作出单调性的判定，再用定义证明；(2)将题中所给不等式具体化，转化为不等式恒成立问题，通过参变分离化为，求出的最大值，则的范围就是大于的最大值；(3)将函数零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数与交点个数，运用数形结合思想求解.
试题解析：（1）当，且时，是单调递减的

证明：设，则

又，所以，

所以

所以，即

故当时，在上单调递减

（2）由得

变形为，即

而

当即时

所以

（3）由可得，变为

令

作的图像及直线

由图像可得：

当或时，有1个零点

当或或时，有2个零点

当或时，有3个零点．