Question

已知圆，直线。

（Ⅰ）求证：对，直线与圆C总有两个不同交点；

（Ⅱ）设与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；

（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线的方程

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解法一：圆的圆心为，半径为。

∴圆心C到直线的距离

∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；

方法二：∵直线过定点，而点在圆内∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；

（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则，

∴

设，则，

化简得：

当M与P重合时，也满足上式。

故弦AB中点的轨迹方程是。

（Ⅲ）设，由得，

∴，化简的………………①

又由消去得……………（*）

∴   ………………………………②

由①②解得，带入（*）式解得，

∴直线的方程为或

【解析】略