Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f(

1

2

)=-1，对任意x、y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，又数列a_n满足a1=

1

2

，an+1=

2an

1+ a 2 n

，设bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

．
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(

1

2

)；
（2）证明数列f（a_n）是等比数列，并求f（a_n）的表达式和

lim

n→∞

bn的值；
（3）是否存在m∈N^*，使得对任意n∈N^*，都有bn＜

m-8

4

成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用条件把2f（

1

2

）进行转化代入已知即可求出实数t；
（2）把f（a_n+1）利用已知条件进行整理得到f（a_n+1）与f（a_n）之间的关系式，即可证明数列f（a_n）是等比数列，进而求f（a_n）的表达式；利用求得的f（a_n）的表达式代入即可求出

lim

n→∞

bn的值；
（3）利用（2）的结论求出b_n的表达式，代入bn＜

m-8

4

，整理后把bn＜

m-8

4

恒成立问题转化为m＞

4

2n-1

恒成立，最后利用函数的单调性求出

4

2n-1

的最值即可求出m的最小值．

解答：解：（1）f(t)=2f(

1

2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=f(

1 2 + 1 2

1+ 1 2 × 1 2

)=f(

4

5

)，
∴t=

4

5

（3分）
（2）∵f(a1)=f(

1

2

)=-1，且f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)
∴f(an+1)=f(

2an

1+ a 2 n

)=f(

an+an

1+an•an

)=f(an)+f(an)=2f(an)，
即

f(an+1)

f(an)

=2
∴f（a_n）是以-1为首项，2为公比的等比数列，（2分）
∴f（a_n）=-2^n-1．（4分）
∴

lim

n→∞

bn=

-1

1- 1 2

=-2．（8分）
（3）由（2）得，bn=-(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)=-

1- 1 2n

1- 1 2

=-2+

1

2n-1

．（1分）
若bn＜

m-8

4

对任意n∈N^*恒成立，即-2+

1

2n-1

＜

m

4

-2，m＞

4

2n-1

恒成立（3分）
∵n∈N^*，∴当n=1时，

4

2n-1

有最大值4，故m＞4．（5分）
又m∈N^*，∴存在m≥5，使得对任意n∈N^*，有bn＜

m-8

4

．
所以m_min=5．（7分）

点评：本题是对数列和函数知识的综合考查．这一类型题，一般都是利用函数的性质来研究数列的性质，做题的关键是把函数的性质理解透彻．