Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的每条棱长均为2，PA₁⊥平面ABC，PA₁=2，E为BC中点．
（1）求证：PB₁∥面AEC₁；
（2）求PB₁与C₁E所成的角；
（3）求点A到面PB₁C₁的距离．

Answer 1

分析：（1）设AC₁、A₁C的交点为O，连结OE．由正三棱柱的性质，证出四边形PA₁BB₁是平行四边形，得PB₁∥A₁B．利用三角形中位线定理证出A₁B∥OE，得PB₁∥OE，利用线面平行的判定定理，即可证出PB₁∥面AEC₁；
（2）取B₁C₁中点F，连BF，由异面直线所成角的定义得∠A₁BF为PB₁与C₁E所成的角．在△A₁BF中算出各边的长，由余弦定理算出cos∠A₁BF的值，即可得到PB₁与C₁E所成的角的大小；
（3）连A₁F，PF，△A₁B₁C₁为正三角形可得A₁F⊥B₁C₁，利用线面垂直的判定与性质和面面垂直判定定理，证出平面PB₁C₁⊥平面PA₁F．作A₁H⊥PF于H，可得A₁H⊥面PB₁C₁，即A₁H为A₁到面PB₁C₁的距离．Rt△PA₁F中，算出斜边上的高A₁H的长，结合AP=2A₁P可得点A到面PB₁C₁的距离．

解答：解：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，PA₁

∥

.

BB₁
∴四边形PA₁BB₁是平行四边形，可得PB₁∥A₁B．
设AC₁、A₁C的交点为O，连结OE，可得OE是△A₁BC的中位线，
∴A₁B∥OE，可得PB₁∥OE．
∵PB₁?平面AEC₁，OE?平面AEC₁，∴PB₁∥面AEC₁；
（2）取B₁C₁中点F，连BF，可得BF∥C₁E，
又∵PB₁∥A₁B，∴∠A₁BF为PB₁与C₁E所成的角．
∵在△A₁BF中A1B=2

2

，BF=

5

，A1F=

3

，
∴由余弦定理，得cos∠A1BF=

8+5-3

2×2 2 × 5

=

10

4

，
即得PB₁与C₁E所成的角为arccos

10

4

（3）连A₁F、PF，
∵△A₁B₁C₁为正三角形，∴A₁F⊥B₁C₁
又∵PA₁⊥面A₁B₁C₁，∴PF⊥B₁G，
∵A₁F、PF是平面PA₁F内的相交直线，∴B₁C₁⊥平面PA₁F，
∵B₁C₁?平面PB₁C₁，∴平面PB₁C₁⊥平面PA₁F
作A₁H⊥PF于H，可得A₁H⊥面PB₁C₁，即A₁H为A₁到面PB₁C₁的距离．
∵Rt△PA₁F中，PA1=2，A1F=

3

，
∴PF=

PA12+A1F2

=

7

，得A1H=

2×3

7

=

2 21

7

，
又∵AP=2A₁P，∴点A到面PB₁C₁的距离等于

4 21

7

．

点评：本题在正三棱柱中证明线面平行，并求异面直线所成角的大小和点到平面的距离，着重考查了空间垂直与平行位置关系的判断与证明、点到平面面的距离和异面直线所成角的计算等知识，属于中档题．