Question

19．已知函数f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx．
（1）求f（$\frac{25π}{6}$）的值
（2）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，求出f（$\frac{25π}{6}$）的值；
（2）根据正弦型函数的图象与性质，求出f（x）的最小正周期与在[0，$\frac{π}{2}$]上的最值．

解答 解：（1）函数f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1-cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴f（$\frac{25π}{6}$）=sin（2×$\frac{25π}{6}$+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin$\frac{2π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=0；
（2）由f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]；
∴2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，即x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，是基础题目．