Question

（本题13分）设，，函数，

（1）设不等式的解集为C，当时，求实数取值范围；

（2）若对任意，都有成立，求时，的值域；

（3）设 ，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】本试题主要是研究二次函数的 性质的运用。利用函数的单调性和不等式的知识的综合运用得到。

（1）根据不等式的解集得到C，然后利用集合的并集和集合间的关系得到实数m的范围

（2）根据对于任意的实数都有函数式子成立，说明函数的对称轴x=1，然后得到解析式，从而求解给定区间的值域。

（3）利用给定的函数，结合二次函数的图像与性质得到最值。

解：（1），因为，图像开口向上，

且恒成立，故图像始终与轴有两个交点，由题意，要使这两个交点横坐标

，当且仅当：，………3分，解得：  ……4分

（2）对任意都有，所以图像关于直线对称，所以，

得．所以为上减函数． 

；．故时，值域为      6分（3）令，则

（i）当时，，当，

则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为．

若，则函数在上的最小值为，且

（ii）当时，函数，若，

则函数在上的最小值为，且，若，

则函数在上单调递增，

从而函数在上的最小值为．…………………………1分

综上，当时，函数的最小值为，当时，

函数的最小值为

当时，函数的最小值为．      13分GH