Question

某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，吴老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于80分的成绩中随机抽取2个，记随机变量ξ为抽到“成绩优秀”的个数，求ξ的分布列及数学期望Eξ；
（2）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀”与教学方式有关？

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）由题意得ξ=0，1，2，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（2）由已知数据能完成2×2列联表，据列联表中的数据，求出K²≈3.137＞2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．

解答： 解：（1）由题意得ξ=0，1，2…．（1分）
P（ξ=0）=

C 2 4

C 2 9

=

1

6

，
P（ξ=1）=

C 1 5 C 1 4

C 2 9

=

5

9

，
P（ξ=2）=

C 2 5

C 2 9

=

5

18

，…．（4分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	1 6	5 9	5 18

Eξ=0×

1

6

+1×

5

9

+2×

5

18

=

10

9

．…．（6分）
（2）由已知数据得

	甲班（A方式）	乙班（B方式）	总计
成绩优秀	1	5	6
成绩不优秀	19	15	34
总计	20	20	40

…．（10分）
根据列联表中的数据，K²=

40×(1×15-5×19)2

6×34×20×20

≈3.137．
由于3.137＞2.706，
∴有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．…．（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查2×2列联表的应用，是中档题，在历年高考中都是必考题型．