Question

某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．
（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a_n}，每年发放的电动型汽车牌照数为构成数列{b_n}，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

a1=10	a2=9.5	a3=	a4=	…
b1=2	b2=	b3=	b4=	…

（2）从2013年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．

Answer 1

考点：数列的应用,数列的求和

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变，可填写表格，并写出这两个数列的通项公式；
（2）利用等差数列与等比数列的求和公式，可求从2013年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．

解答： 解：（1）

a1=10	a2=9.5	a3=9	a4=8.5	…
b1=2	b2=3	b3=4.5	b4=6.75	…

…（2分）
当1≤n≤20且n∈N^*，a_n=10+（n-1）×（-0.5）=-0.5n+10.5；
当n≥21且n∈N^*，a_n=0．
∴a_n=

-0.5n+10.5，1≤n≤20且n∈N* 0，n≥21且n∈N*

…（5分）
而a₄+b₄=15.25＞15
∴b_n=

2•( 3 2 )n-1，1≤n≤4且n∈N* 6.75，n≥5且n∈N*

，…（8分）
（2）a₁+a₂+…+a₂₀=10×20+

20×1

2

•(-

1

2

)=105…（10分）
b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+…+b₂₀=

2[1-( 3 2 )4]

1- 3 2

+6.75×16=124.25…（13分）
∴从2013年算起，二十年发放的汽车牌照总量为229.25万张．…（14分）

点评：本题考查数列的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．